平方数对半和大观

作者/姚素芳

关键词  平方数  对半和  览胜

内容提要  上世纪90年代，国外数学家发现了自然数平方的对半和仍然是平方数的现象。文章对其进行了深入研究,并有新的重大发现。

§1.概述

1992年2月，印度数学家J.V.Ctaudhari和M.N.Deshpande发现了956～968这13个连续自然数，其平方的对半和仍然是连续自然数的平方。比如：

956²=913936    913+936=1849=43²

968²=937024    937+024=961=31²

这个发现令数学家们感到十分惊讶，被称为几千年来自然数研究的“漏网之鱼”，被当代人捉住了【1】。

1996年9月，美国数学家Owen Thomas又发现了9859～9900这42个具有同样特点的连续自然数【1】。比如：

9859²=97199881    9719+9881=19600=140²

本世纪初，我国数学家杨勇先发现并证明了平方数对半和定理，由此定理可以得到众多自然数，其平方的对半和也是平方数。

受此启发，笔者也对平方数对半和仍然是平方数的问题产生了极大兴趣，而且发现并使用了科学而简捷的思路和方法，对此进行了深入研究，在许多特殊数组方面有许多新的重大发现。

§2. 神奇的平方数对半和仍然是平方数

先看一组平方数的对半和：

3199²=10233601      1023+3601=4624=68²

3200²=10240000        1024+0000=1024=32²

3299²=10883401         1088+3401=4489=67²

3300²=10890000       1089+0000=1089=33²

…………………………………

4899²=24000201        2400+0201=2601=51²

4900²=24010000        2401+0000=2401=49²

4999²=24990001        2499+0001=2500=50²

5000²=25000000        2500+0000=2500=50²

发现了吗？非常奇妙的是：  

68+32=100              67+33=100

51+49=100              50+50=100

笔者经过研究分析和计算，发现了这类数具有一大特色，即自然数平方的对半和仍然是平方数的数组，大部分构成了一些公差不同的等差数列，而且富有规律，特点各异。下面予以分述：

§3. 公差为3的等差数列各数平方的对半和

3228²=10419984   1041+9984=11025=105²

3231²=10439361   1043+9361=10404=102²

3234²=10458756   1045+8756=9801=99²

…………………………………

3297²=10870209   1087+0209=1296=36²

3300²=10890000   1089+0000=1089=33²

这是一组是25个自然数构成的等差数列,其对半和得到的平方数公差也是3，并逐渐递减。

3369²=11350161   1135+0161=1296=36²

3372²=10370384   1037+0384=1521=39²

3375²=11390625   1139+0625=1764=42²

…………………………………

3435²=11799225   1179+9225=10404=102²

3438²=11819844   1181+9844=11025=105²

这是一组是24个自然数构成的等差数列,其对半和得到的平方数公差也是3，并逐渐递增，与上面一组相映成趣。你发现了吗？两组中对半和得到的平方数相同者，其和正好是6666：

3228+3438=6666     3231+3435=6666

3297+3369=6666     3294+3372=6666等等

§4. 公差为9的等差数列各数平方的对半和

7862²=61811044   6181+1044=7225=85²

7871²=61952641   6195+2641=8836=94²

7880²=62094400   6209+4400=10609=103²

7889²=62236321    6223+6321=12544=112²

7898²=62378404    6237+8404=14641=121²

这是5个自然数构成的等差数列,其对半和得到的平方数公差也是9，并随之逐渐递增。

§5. 公差为11的等差数列各数平方的对半和

笔者发现，在四位数中，一些公差为11的等差数列各数平方的对半和也是平方数。这是四位数的一个特色。

3534²=12489156   1248+9156=10404=102²

3545²=12567025   1256+7025=8281=91²

…………………………………

3589²=12880921   1288+0921=2209=47²

3600²=12960000   1296+0000=1296=36²

这一组是7个自然数构成的等差数列,其对半和得到的平方数公差也是11，并逐渐递减。

3677²=13520329   1352+0329=1681=41²

3688²=13601344   1360+1344=2701=52²

…………………………………

3721²=13845841   1384+5841=7225=85²

3732²=13927824   1392+7824=9216=96²

这是一组6个自然数构成的等差数列,其对半和得到的平方数公差也是11，并逐渐递增。

§6. 公差为32的等差数列各数平方的对半和

502²=252004      252+004=256=16²

534²=285156      285+156=441=21²

566²=320356      320+356=676=26²

598²=357604      357+604=961=31²

630²=396900      396+900=1296=36²

这是一组5个自然数构成的等差数列,其对半和得到的平方数公差是5，并逐渐递增。

401²=160801       160+801=961=31²

433²=187489      187+489=676=26²

465²=216225      216+225=441=21²

497²=247009      247+009=256=16²

这是一组4个自然数构成的等差数列,其对半和得到的平方数公差也是5，并逐渐递减。

§7. 公差为33的等差数列各数平方的对半和

3234²=10458756   1045+8756=9801=99²

3267²=10673289   1067+3289=4356=66²

3300²=10890000   1089+0000=1089=33²

这是一组3个自然数构成的等差数列,其对半和得到的平方数公差也是33，并逐渐递减。

4134²=17089956   1708+9956=11664=108²

4167²=17363889    1736+3889=5625=75²

4200²=17640000   1764+0000=1764=42²

这一组和前面的一组特点相同。

3834²=14699556   1469+9556=11025=105²

3867²=14953689   1495+3689=5184=72²

3900²=15210000   1521+0000=1521=39²

这一组也具有同样特点。

§8. 公差为100的等差数列各数平方的对半和

笔者发现了一组公差为100的等差数列，其各数平方的对半和也是平方数，且很有规律。

7598²=57729604   5772+9604=15376=124²

7698²=59259204   5925+9204=15129=123²

7798²=60805884   6080+5884=14884=122²

…………………………………

9898²=97970404   9797+0404=10201=101²

9998²=99960004    9996+0004=10000=100²

这是一组25个自然数构成的等差数列,其对半和得到的平方数是连续自然数，并逐渐递减。

§9. 公差为300的等差数列各数平方的对半和

笔者还发现了一组公差为300的等差数列，其各数平方的对半和也是平方数，也很有规律性。

3267²=10673289   1067+3289=4356=66²

3567²=12723489   1272+3489=4761=69²

3867²=14953689   1495+3689=5184=72²

…………………………………

9567²=91527489   9152+7489=16641=129²

9867²=91437489    9143+7489=17424=132²

这是一组23个自然数构成的等差数列,其对半和得到的平方数公差为3，并逐渐递增。

3432²=11778624    1177+8624=9801=99²

3732²=13927824    1392+7824=9216=96²

…………………………………

4632²=21455424   2145+5424=7569=87²

4932²=24324624   2432+4624=7056=84²

这是一组6个自然数构成的等差数列,其对半和得到的平方数公差为3，并逐渐递减。

以上这些天造地设的、隐藏在茫茫数海中的规律，真是神奇而巧妙！

§10.可以递推的平方数对半和

笔者发现，部分平方数及其对半和还可以按一定规律进行递推，递推后其特性仍然成立。递推特性的发现，大大拓展了平方数及其对半和特性的适用范围，扩大了人们对平方数及其对半和特性认识的视野，开阔了研究该问题的思路。

3267²=10673289        1067+3289=4356=66²

332667²=110667332889  110667+332889=443556=666²

33326667²=1110666733328889  

11106667+33328889=44435556=6666²

…………………………………

3534²=12489156        1248+9156=10404=102²

335334²=112448891556  112448+891556=1004004=1002²

33353334²=1112444888915556  

11124448+88915556=100040004=10002²

…………………………………

6567²=43125489         4312+5489=9801=99²

665667²=443112554889  443112+554889=998001=999²

66656667²=4443111255548889  

44431112+55548889=99980001=9999²

…………………………………

9861²=97239321         9723+9321=19044=138²

998661²=997323792921    997323+792921=1790244=1338²

99986661²=9997332377928921

99973323+77928921=177902244=13338²

…………………………………

还可以继续递推，不再列举。

§11.特殊数组平方的对半和

先看这一组：

345²=119025    119+025=144=21²

354²=125316     125+316=441=12²

956²=913936    913+936=1849=43²

965²=931225    931+225=1156=34²

3369²=11350161   1135+0161=1296=36²

3396²=11532816   1153+2816=3969=63²

7889²=62236321    6223+6321=12544=112²

7898²=62378404    6237+8404=14641=121²

再看下面一组：

89²=7921         79+21=100=10²

98²=9604          96+04=100=10²

357²=127449     127+449=576=24²

753²=567009    567+009=576=24²

3243²=10517049   1051+7049=8100=90²

3423²=11716929   1171+6929=8100=90²

3435²=11799225   1179+9225=10404=102²

3534²=12489156   1248+9156=10404=102²

还有更为神奇的一组：

7598²=57729604   5772+9604=15376=124²

9875²=97515625   9751+5625=15376=124²

7698²=59259204   5925+9204=15129=123²

9876²=97535376   9753+5376=15129=123²

7798²=60805884   6080+5884=14884=122²

9877²=97555129   9755+5129=14884=122²

…………………………………

9898²=97970404   9797+0404=10201=101²

8989²=80802121   8080+2121=10201=101²

9998²=99960004    9996+0004=10000=100²

9899²=97990201    9799+0201=10000=100²

这一组由25对呈等差数列的自然数构成，其绝妙的特性令人不敢相信，但是这绝对是真实的。

这些深层次的规律被发现的事实说明，只要努力钻研，积极探索，并采用正确的思路和方法，自然界的规律总是可以认识的。

以上所发现的形形色色的平方数对半和仍然是平方数的现象，真是琳琅满目，美不胜收，蔚为壮观，可谓平方数对半和之大观。这是对自然数研究“漏网之鱼”的重大补充。

参考资料

[1]王凯成、罗运纶：完全平方数对半和的几个性质. 数学通报. 1999.12.

[2]杨勇先：由平方数对半和与对半差得到全部自然数的平方.中国文化交流网

（姚素芳  退休职工

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