由平方数对半和与对半差得到全部自然数的平方

       杨勇先  李 艳  雷 燕  

内容提要  文章发现并证明了平方数对半和定理与对半差定理，发现了无穷多自然数，其平方的对半和与对半差可得到全部自然数的平方,彻底解决了几千年来自然数研究的“漏网之鱼”问题。

§1.概述

1992年2月，印度数学家J.V.Ctaudhari和M.N.Deshpande发现了13个三位连续自然数，每个数的平方都是六位数，其前三位与后三位之和（对半和）仍然是平方数，而且是连续自然数的平方：

956²=913936    913+936=1849=43²

957²=915849    915+849=1764=42²

 …………………………………

968²=937024    937+024=961=31²

这个发现令数学家们感到十分惊讶，被称为几千年来自然数研究的“漏网之鱼”，被当代人捉住了【1】。

1996年9月，美国数学家Owen Thomas又发现了一组具有同样特点的42个四位连续自然数，其平方的对半和也是连续自然数的平方【1】：

9859²=97199881    9719+9881=19600=140²

9860²=97219600    9721+9600=19321=139²

…………………………………

9900²=98010000    9801+0000=9801=99²

国外三位数学家发现的平方数特性非常奇妙。但他们发现的只是茫茫数海中的个别现象，并没有总结出一般规律，距离平方数对半和问题的彻底解决还差得很远。

§2.平方数对半差定理

定理：设A = 10ⁿ(10ⁿ-k)+1,其中 n=1、2、3……，k=1、2、3……10ⁿ/2，则A²的对半差必定是完全平方数。

（若A²是4n位数，则前2n位数与后2n位数之差称为对半差）

 证：[10ⁿ(10ⁿ-k)+1]²

= 10²ⁿ(10ⁿ-k) ² + 2╳10ⁿ(10ⁿ-k) +1

= 10²ⁿ(10²ⁿ- 2╳10ⁿ k + k²)+ 2╳10²ⁿ - 2╳10ⁿ k +1

= 10²ⁿ(10²ⁿ- 2╳10ⁿ k + k²)+ 10²ⁿ +10²ⁿ - 2╳10ⁿ k +1

= 10²ⁿ(10²ⁿ- 2╳10ⁿ k + k² +1) +10²ⁿ - 2╳10ⁿ k +1

由于k 的最大值只能是5、50、500……等数，所以10ⁿ(10ⁿ-k)+1的首位数只能是5，6，7，8，9各数；又由于10ⁿ(10ⁿ-k)+1是2n位数，[10ⁿ(10ⁿ-k)+1]²必然是4n位数。其前2n位数必然是

(10²ⁿ- 2╳10ⁿ k + k² +1)

后2n位数必然是

10²ⁿ - 2╳10ⁿ k +1

显然，其对半差

(10²ⁿ- 2╳10ⁿ k + k² +1)-（10²ⁿ - 2╳10ⁿ k +1）= k²

定理得证。

§3.由平方数对半差定理可得到1～5，1～50，1～500，1～5000……的平方

令n=1，k=1、2、3、4、5，则有：

91²=8281      82-81=1=1²

81²=6561      65-61=4=2²

71²=5041      50-41=9=3²

61²=3721      37-21=16=4²

51²=2601      26-01=25=5²

得到了1～5各数的平方。

令n=2，k=1、2、3……50，则有：

9901²=98029801      9802-9801=1=1²

9801²=96059601      9605-9601=4=2²

9701²=94109401      9410-9401=9=3²

…………………………………

7501²=56265001      5626-5001=625=25²

 …………………………………

5101²=26020201      2602-0201=2401=49²

5001²=25010001      2501-0001=2500=50²

得到了1～50各数的平方。

令n=3，k=1、2、3……500，则有：

999001²=998002998001      998002-998001=1=1²

998001²=996005996001      996005-996001=4=2²

…………………………………………………

786001²=617797572001      617797-572001=45796=214²

…………………………………………………

501001²=251002002001      251002-002001=249001=499²

500001²=250001000001      250001-000001=250000=500²

得到了1～500各数的平方。

令n=4，k=1、2、3……5000，则有：

99990001²=9998000299980001      99980002-99980001=1=1²

99980001²=9996000599960001      99960005-99960001=4=2²

…………………………………………………

70120001²=4916814540240001      49168145-40240001=8928114=2988²

…………………………………………………

50010001²=2501000200020001     25010002-00020001=24990001=4999²

50000001²=2500000100000001     25000001-00000001=25000000=5000²

得到了1～5000各数的平方。

依此类推，不再列举。

§4.平方数对半和定理

定理：设B = 10ⁿ(5╳10^n-1- Q)-1，其中n = 1、2、3……，Q = 0、1、2、3……5╳10 ⁿ -2，则B²的对半和必定是完全平方数。

（若B²是4n位数，则前2n位数与后2n位数之和称为对半和）

证：[10ⁿ(5╳10^n-1- Q)-1]²

= 10²ⁿ(5╳10^n-1- Q) ² - 2╳10ⁿ(5╳10^n-1- Q) +1

= 10²ⁿ(25╳10^2n-2- 2╳5╳10^n-1 Q + Q ²)+ 2╳5╳10^2n-1 - 2╳10ⁿ Q +1

= 10²ⁿ(25╳10^2n-2 - 10ⁿ Q + Q ²)- 10²ⁿ + - 2╳10ⁿ Q +1

= 10²ⁿ(25╳10^2n-2 - 10ⁿ Q + Q ² -1) + 2╳10ⁿ Q +1

由于[10ⁿ(5╳10^n-1- Q)-1]是2n位数，其首二位数大于32时[10ⁿ(5╳10^n-1- Q)-1]²是4n位数?？梢钥闯銎淝?n位数是

（25╳10^2n-2 - 10ⁿ Q + Q ² -1）

后2n位数是

2╳10ⁿ Q +1

其对半和就是

（25╳10^2n-2 - 10ⁿ Q + Q ² -1） + 2╳10ⁿ Q +1

= 25╳10^2n-2 + 10ⁿ Q + Q ²

=（5╳10 ^n-1 + Q）²

定理得证。

§5.由平方数对半和定理可得到50～98，50～998，50～9998……的平方

令n=1，Q=0、1、2、3，则有：

49²=2401       24+01=25=5²

39²=1521       15+21=36=6²

29²=841       8+41=49=7²

19²=361       3+61=64=8²

令n=2，Q=0、1、2……18，则有：

4999²=24990001    2499+0001=2500=50²

4899²=24000201    2400+0201=2601=51²

                 ……………………………

3299²=10883401    1088+3401=4489=67²

3199²=10233601    1023+3601=4624=68²

当Q的值增大到使B²的位数减少时，根据平方数对半和定理，计算对半和时应保持后2n位数不变。

令n=2，Q=19、20……39，则有：

3099²=9603801     960+3801=4761=69²

2999²=8994001     899+4001=4900=70²

……………………………

1199²=1437601     143+7601=7744=88²

1099²=1207801     120+7801=7921=89²

令n=2，Q=40、41……46，则有：

999²=998001       99+8001=8100=90²

899²=808201       80+8201=8280=91²

……………………………

399²=159201       15+9201=9216=96²

令n=2，Q=47、48，则有：

299²=89401        8+9401=9409=97²

199²=39601        3+9601=9604=98²

得到了连续自然数50～98各数的平方。

令n=3，Q=0、1、2……498，则有：

499999²=249999000001  249999+000001=250000=500²

498999²=249000002001  249000+002001=251001=501²

…………………………………………………

101999²=10403796001   10403+796001=806404=898²

…………………………………………………

98999²=9800802001   9800+802001=811801=901²

……………………………………………

33999²=1155932001   1155+932001=933156=966²

……………………………………………

30999²=960938001    960+938001=938961=969²

……………………………………………

10999²=120978001    120+978001=978121=989²

……………………………………………

8999²=80982001      80+982001=982081=991²

……………………………………………

1999²=3996001       3+996001=996004=998²

得到了连续自然数50～998各数的平方。

令n=4，Q=0、1、2……4998，则有：

49999999²=2499999900000001   24999999+00000001=25000000=5000²

49989999²=2499000000020001   24990000+00020001=25010001=5001²

49979999²=2498000300040001   24980003+00040001=25020004=5002²

…………………………………………………

10019999²=100400379960001    1004003+79960001=80964004=8998²

……………………………………………

869999²=756898260001         7568+98260001=98267569=9913²

……………………………………………

259999²=67599480001          675+99480001=99480676=9974²

……………………………………………

89999²=8099820001            80+99820001=99820081=9991²

……………………………………………

19999²=399960001             3+99960001=99960004=9998²

得到了连续自然数50～9998各数的平方。

依此类推，不再列举。

§6.此二定理可得到全部自然数的平方

可以明显地看出：在运用平方数对半和定理尚未得到的99、100、999、1000……的平方，在运用平方数对半差定理时得到了，它们已经包含在1～5000各数的平方之内。就是说，已经得到了1～10000各数的平方。

依此类推，将会得到全部自然数的平方,不再列举。

以上所发现并证明的平方数对半差定理与对半和定理，可得到全部自然数的平方,圆满地解决了平方数的对半和与对半差仍然是完全平方数这一世界难题，捉住了几千年来自然数研究的“漏网大鱼”。

参考资料

1.王凯成、罗运纶：完全平方数对半和的几个性质. 数学通报. 1999.12.      

（杨勇先/陕西省决策咨询委员会）